Notatki z matematyki - 3

CAŁKI Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w przedziale I nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w przedziale I i oznaczamy  ! f(x)dx, czyli:

! f(x)dx = F(x) + c,

gdzie F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x), natomiast c jest dowolną stałą. Funkcja f(x) nazywa się fukcją podcałkową, x nazywamy zmienną całkowania.

Całkowanie przez podstawienie

Jeżeli:(1) funkcja t = h(x) jest różniczkowalna w przedziale I i odwzorowuje przedział I na przedział J(2) funkcja g ma w przedziale J funkcję pierwotną G (3) f(x) = g_h(x)_h′(x) dla każdego x ∈ I to ! f(x)dx = G[h(x)] + c

Całkowanie przez części

Jeżeli funkcje f i g posiadają w przedziale I ciągłe pochodne, to: !f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − !f′(x)g(x)dx
CAŁKI OZNACZ.-Każda funkcja ciągła w przedziale [a, b] jest w tym przedziale całkowalna.

- Każda funkcja ograniczona w przedziale [a, b] i mająca w tym przedziale tylko

skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna.

-Funkcja monotoniczna i ograniczona jest całkowalna.

Zastosowanie geometryczne całki oznaczonej

Pole P figury ograniczonej krzywymi y = f(x) i y = g(x) oraz prostymi x = a i x = b wyraża się wzorem:

przy założeniu, że f(x) ¬ g(x) dla każdego x ∈ [a, b].

- Jeżeli funkcja y = f(x) ma ciągłą pochodną w przedziale [a, b], to długość łuku Ł krzywej y = f(x) w tym przedziale wyraża się wzorem:

Macierze.- Niech m i n będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną wymiaru m × n nazywamy układ mn liczb zapisanych w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach

- Macierzą kwadratową stopnia n nazywamy macierz, która posiada n wierszy i nkolumn, to znaczy jest macierzą postaci.

-Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz kwadratową stopnia n, której główna przekątna składa sie z samych jedynek, a pozostałe wyrazy są zerami. Oznaczamy ją symbolem In.

- Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy są równe zero.

-Każdej macierzy kwadratowej stopnia n można przyporzadkować liczbę rzeczywistą detA zwaną wyznacznikiem macierzy.

Macierz odwrotna

Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Jeśli wyznacznik detA róż0, to istnieje dokładnie jedna macierz kwadratowa B stopnia n taka, że

A · B = B · A = In.

Macierz B występującą w powyższym twierdzeniu nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy symbolem A−1. Istnieją dwa sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej. Pierwszy z nich nazywamy sposobem wyznacznikowym. Drugi sposób to metoda Gaussa, która polega na przekształceniach elementarnych wierszy macierzy.

RZĄD Niech A będzie macierzą wymiaru m×n. Każdy wyznacznik macierzy kwadratowej

stopnia r powstałej z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn nazywamy minorem

macierzy A. Liczbę r nazywamy stopniem minora.
- Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny ze stopni jej niezerowych minorów. Rząd macierzy A oznaczamy symbolem rzA.

Układ równań liniowych

Liczby aij nazywamy współczynnikami, liczby bi wyrazami wolnymi układu. Ze współczynników tworzymy tzw. macierz układu.   Ze współczynników i wyrazów wolnych tworzymy tzw. macierz uzupełnioną (rozszerzoną) układu.    W ostatniej kolumnie stoi kolumna wyrazów wolnych, którą oznaczamy

-Układ n równań o n niewiadomych nazywamy układem Cramera, gdy wyznacznik jego macierzy detA róż 0. Układ Cramera jest układem oznaczonym, czyli ma dokładnie jedno

rozwiązanie x = (x1, x2, . . . , xn), którego współrzędne określone są wzorem

- Układ Cramera można rozwiązać jako równanie macierzowe mnożąc obie strony rów-

nania przez macierz odwrotną do A. Należy pamiętać, że mnożenie macierzy nie jest przemienne

-Oznaczony- Rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y)- graf: Dwie proste przecinające się

-Nieoznaczony- Nieskończenie wiele rozwiązań; Dwie proste pokrywające się

- Sprzeczny- Brak rozwiązań; Dwie różne proste równoległe