Notatki z matematyki - 2

Granica funkcji w punkcie (Heinego)

Niech funkcja f określona będzie w otoczeniu pewnego punktu x0, z wyjątkiem może samego punktu x0. Funkcja f ma granicę g w punkcie x0, co zapisujemy w postaci

limx→x0f(x) = g lub f(x) → g, gdy x → x0,

jeżeli dla każdego ciągu wartości argumentu (xn), zbieżnego do x0 o wyrazach różnych od x0 odpowiadający ciąg wartości funkcji (f(xn)) jest zbieżny do granicy g, tzn., że jeżeli limn→∞xn = x0, to limn→∞f(xn) = g.

W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco:

Własności granic funkcji

Jeżeli limx→x0 f(x) = a i limx→x0 g(x) = b, to

(1) limx→x0 [f(x) + g(x)] = a + b,

(2) limx→x0 [f(x) − g(x)] = a − b,

(3) limx→x0 [f(x) · g(x)]= a · b,

(4) limx→x0 [f(x)/g(x)] = a/b, przy założeniu, że b 6= 0.

Jeżeli limx→x0 f(x) = a i limx→x0 g(x) = ∞ (lub −∞ ), to

(1) limx→x0 [f(x) + g(x)] = ∞, (lub −∞),

(2) limx→x0 [f(x) · g(x)] = ∞, (lub −∞), gdy a > 0,

(3) limx→x0 [f(x) · g(x)] = −∞, (lub ∞), gdy a < 0,

(4) limx→x0 [f(x)/g(x)] = 0.

Twierdzenie o trzech funkcjach Jeżeli limx→x0 f(x) = limx→x0 h(x) oraz zachodzi nie-

równość f(x)<_g(x)<_h(x), to limx→x0 g(x)=a

Definicja Heinego: Funkcję f określoną w otoczeniu punktu x0 nazywamy ciągłą w punkciex0, jeżeli funkcja ta posiada granicę w punkcie x0 równą wartości f(x0) funkcji w tym punkcie, tzn. gdy limx→x0 f(x) = f(x0).

W określeniu ciągłości funkcji występują trzy warunki:

1. f(x) jest określona w punkcie x0, tzn. istnieje f(x0);

2. f(x) posiada granicę w punkcje x0;

3. granica f(x) w punkcie x0 jest równa wartości funkcji w tym punkcie f(x0).

Jeżeli w jakimś punkcje x0 jeden z powyższych warunków nie jest spełniony, to funkcja nie jest ciągła

w tym punkcie.

-Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0, jeśli limx→x0+ f(x) = f(x0).

-Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0, jeśli limx→x0− f(x) = f(x0).

Pochodna funkcji w punkcie

Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu h nazywamy iloraz:

Granicę właściwą powyższego ilorazu różnicowego nazywamy pochodną funkcji f

w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f′(x0). Mamy więc

Jeżeli granica powyższa nie istnieje lub jest niewłaściwa to mówimy, że funkcja f nie ma pochodnej

w punkcie x0 lub, że nie jest różniczkowalna w punkcie x0.

-Pochodną lewostronną w punkcie x0 oznaczamy f′(x0−) i definiujemy:

Zastosowanie pochodnych

-Twierdzenie Rolle’a Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b],ma pochodną f′ wewnątrz tego przedziału oraz f(a) = f(b) to istnieje taki punkt c nal. (a, b), że f′(c) = 0.

-Twierdzenie Lagrange’a Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b],ma pochodną f′ wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f(b) − f(a) = f′(c)(b − a)

-Twierdzenie 5.4.3 (twierdzenie de l’Hˆospitala) Jeżeli funkcje                   są określone w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 oraz limx→x0f(x) = limx→x0h(x) = 0

Ekstremum funkcji

-Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum wtedy i tylko wtedy, gdy

-maksimum właściwe

-minimum

-minimum właściwe

-Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną, to f′(x0) = 0

Wklęsłość i wypukłość

-Funkcją y = f(x) jest wklęsła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa

y = f(x) jest położona pod styczną poprowadzoną do niej w dowolnym punkcie o odciętej z przedziału

(a, b). Jeżeli f”(x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b) to krzywa y = f(x) jest wklęsła w przedziale (a, b).

-Funkcją y = f(x) jest wypukła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa

y = f(x) jest położona nad styczną poprowadzoną do niej w dowolnym punkcie o odciętej z przedziału

(a, b).Jeżeli f”(x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b) to krzywa y = f(x) jest wypukła wprzedziale (a, b).

-Warunek konieczny punktu przegięcia abypunkt (x0, f(x0)) był punktem przegięcia krzywej y = f(x), jest f”(x0) = 0.

-Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia) Warunkiem wystarczającym na to, żeby punkt (x0, f(x0)) był punktem przegięcia krzywej y = f(x) jest:f”(x) < 0 dla x < x0,f”(x0) = 0,f”(x) > 0dlax > x0

Asymptoty

-Prosta x = c jest asymptotą pionową lewostronną\praw funkcji y = f(x) <-> limx→cf(x) =−∞ albo +∞

-Prosta x = c jest asymptotą pionową prawostronną funkcji y = f(x) <-> limx→cf(x) =−∞ albo +∞

-Prosta y = ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji y = f(x) <-> limx→−∞ f(x)−(ax + b) = 0